説明不足だったので追記します

マイペ右上の青い背景の[MILU TALK]をクリック

⇒出てきた別窓　右下の[Settings]をクリック
⇒「Setting＆Message」の[Clear Message History]をクリック
⇒「Yes」をクリック
以上の操作で、メッセージが消去され
マイペの「新着メッセージ」の通知が消えると思いましたが
反映されないようなら、リログしてみてください

ちなみに、「Restore Defaults」をクリックすると
ミルトークに設定されてしまっているメンバーリストが
初期状態になります

ミルトークは、一度接続をすると
次回、一人だけにメッセージを送ったつもりが
前回設定したメンバー全員にメッセージが届いてしまいますので
手動で解除しておかないと、内緒話の話が筒抜けになってしまいます
余談ですが、スマホからのミルトークでは日本語で
「初期設定」「履歴削除」というメニューにあたります

以上でわからないようなら、ミルメでご連絡ください(ゝω・）