いろいろ調べましたが、現在何か「セキュリティー警告」などが出ていますでしょうか？

先ほどの補足として・・・

https://www.verisign.co.jp/ssl/help/faq/110058/index.html

こちらを参照してみてください

これは、セキュリティー警告が出た場合のQ&Aです。

もし仮にサーバー側の問題でセキュリティー警告が出ていたとすると我々にはどうすることも出来ません。この場合ほとんどのユーザでセキュリティー警告が出るものと思われます。

PS

現在ActiveXの更新がされたようですが改善はされていないようです。

サーバの安定化作業もされたようです。

このあたりが何か影響しているのかもしれませんが・・・わかりません。

サーバー側の問題はたぶん問い合わせても回答はないでしょう。

補足

InternetExplorer７/８

インターネットオプションから「コンテンツ」から＜証明書＞、＜発行元＞というところで確認できます。このなかには証明書が全て確認できますが、有効期限切れは少なからずあると思います。

こうしたものを全て削除していいのか？という事になると、最初に記載した「下位互換で必要となることがある・・・」ということにもなります。